Question

19．设函数f（x）=2lnx-$\frac{3}{x}$-m，若关于x的方程f（f（x））=x恰有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）

• A． （2ln3-4，+∞）
• B． （-∞，2ln3-4）
• C． （-4，+∞）
• D． （-∞，-4）

Answer 1

分析 令f（x）=x得出m=2lnx-x-$\frac{3}{x}$，根据导数的性质求出m的范围，根据根的个数判断m的范围．

解答 解：∵关于x的方程f（f（x））=x有解，
∴方程f（x）=x有解，
令f（x）=x得m=2lnx-x-$\frac{3}{x}$，
令g（x）=2lnx-x-$\frac{3}{x}$，则g′（x）=$\frac{2}{x}-1+\frac{3}{{x}^{2}}$=$\frac{-{x}^{2}+2x+3}{{x}^{2}}$（x＞0），
令g′（x）＞0得0＜x＜3，令g′（x）＜0得x＞3，
∴g（x）在（0，3）上单调递增，在（3，+∞）上单调递减，
∴当x=3时，g（x）取得最大值g（3）=2ln3-4，
∴m≤2ln3-4．
若m=2ln3-4，则g（x）=m只有一解x=3，
∵f（f（x））=x，∴f（x）=3．
∵f′（x）=$\frac{2}{x}$+$\frac{3}{{x}^{2}}$＞0，
∴f（x）是增函数，
∴f（x）=3最多只有一解，不符合题意；
∴m＜2ln3-4．
故选B．

点评 本题考查了方程根的个数与函数值域的关系，函数的单调性与最值的计算，属于中档题．