Question

【题目】我们把定义在上，且满足（其中常数，满足，，）的函数叫做似周期函数.

（1）若某个似周期函数满足且图像关于直线对称，求证：函数是偶函数；

（2）当，时，某个似周期函数在时的解析式为，求函数，的解析式；

（3）对于确定的且当时，，试研究似周期函数在区间上是否可能是单调函数？若可能，求出的取值范围；若不可能，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）可能，

【解析】

（1）先阅读新定义，再利用偶函数的定义证明即可；

（2）由时的解析式为，结合函数的周期求解即可；

（3）由分段函数在各段上的单调性，研究函数在整体上的单调性，从而得解.

解：（1）因为函数的图像关于直线对称，则，

又函数满足，则，用替换得，

则，又，，所以，

故函数是偶函数；

（2）似周期函数在时的解析式为，

当时，，

，

故，；

（3）当时，，

，

显然当时，函数在区间上不是单调函数，

又当时，，是增函数，

此时，

若似周期函数在区间上是单调函数，则只能是增函数，

即，即，

故的取值范围为.