Question

13．已知函数f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos²x-$\frac{1}{2}$（x∈R）．
（I）求函数f（x）的单调增区间．
（II）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=$\sqrt{3}$，f（C）=0，若向量$\overrightarrow{m}$=（1，sinA）与向量$\overrightarrow{n}$=（2，sinB）共线，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）先将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；
（2）根据（1）得f（x）的解析式，求出C角，在根据平面向量共线的特征，建立角A，B的关系式，利用余弦定理即可求a，b的值．

解答 解：由f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos²x-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos2x$-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x-1$
=sin$（2x-\frac{π}{6}）$-1，
根据正弦函数图象及性质可得：$2x-\frac{π}{6}∈$[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ$+\frac{π}{2}$]（k∈Z）是增区间．
即2kπ-$\frac{π}{2}$≤$2x-\frac{π}{6}$≤2kπ$+\frac{π}{2}$，解得：$-\frac{π}{6}+kπ$≤x≤$\frac{π}{3}+kπ$．
∴f（x）的单调增区间为[$-\frac{π}{6}+kπ$，$\frac{π}{3}+kπ$]]（k∈Z）．
（2）由（1可知）f（x）=sin$（2x-\frac{π}{6}）$-1
∴f（C）=sin$（2C-\frac{π}{6}）-1$
又f（C）=0，即sin$（2C-\frac{π}{6}）-1$=0．
解得：C=$\frac{π}{3}$．
由题意：向量$\overrightarrow{m}$=（1，sinA）与向量$\overrightarrow{n}$=（2，sinB）共线，
则有：sinB-2sinA=0
∴$\frac{1}{2}=\frac{sinA}{sinB}$
由正弦定理可得：b=2a…①
由余弦定理$cosC=\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$
可得：$\frac{1}{2}=\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-3}{2ab}$
化简：a²+b²-ab=3…②
由①②解得：a=1，b=2．

点评 本题考查了三角函数的图象和性质的运用，向量的共线问题和正、余弦定理的化简以及计算能力．属于中档题．