Question

10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）解不等式f（x²-1）＞-2．

Answer 1

分析 （1）根据题意，设x＜0，利用奇函数的性质分析可得x＜0时函数的解析式，由奇函数的性质分析可得f（0）=0，综合可得函数的解析式；
（2）根据题意，由函数的解析式对不等式f（x²-1）＞-2分3种情况讨论，①x²-1＞0，②x²-1=0，③x²-1＜0，综合三种情况即可得答案．

解答 解：（1）根据题意，当x＜0时，-x＞0，则f（-x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-x）．
因为函数f（x）是奇函数，所以f（-x）=-f（x）．
因此当x＜0时，f（x）=-log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-x）．
当x=0时，f（0）=0
所以函数f（x）的解析式为$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{log_{\frac{1}{2}}}x，x＞0\\ 0，x=0\\-{log_{\frac{1}{2}}}（-x），x＜0\end{array}\right.$，
（2）不等式f（x²-1）＞-2可化为，
当x²-1＞0时，${log_{\frac{1}{2}}}（{x^2}-1）＞-2$，解得0＜x²-1＜4；
当x²-1=0时，0＞-2，满足条件；
当x²-1＜0时，$-{log_{\frac{1}{2}}}（-{x^2}+1）＞-2$，解得${x^2}-1＜-\frac{1}{4}$．
所以，0≤x²-1＜4或${x^2}-1＜-\frac{1}{4}$
解得$1≤x＜\sqrt{5}$或$-\sqrt{5}＜x≤-1$或-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜x＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即不等式的解集为$[1，\sqrt{5}）∪（-\sqrt{5}，-1]∪（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$．

点评 本题考查函数奇偶性的应用，涉及函数解析式的求法以及不等式的解法，关键是求出函数的解析式．