Question

18．已知抛物线y²=2px，p为方程x²-4x-12=0的根．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）若抛物线与直线y=2x-5无公共点，试在抛物线上求一点，使这点到直线y=2x-5的距离最短．

Answer 1

分析 （Ⅰ）解方程即可求出p的值，问题得以解决；
（Ⅱ）法一、抛物线y²=-4x与直线y=2x-5无公共点，设点P（-$\frac{{t}^{2}}{4}$，t）为抛物线y²=-4x上的任意一点，点P到直线y=2x-5的距离为d，故当t=-1时，d取得最小值．
法二、抛物线y²=-4x与直线y=2x-5无公共点，设与直线y=2x-5平行且与抛物线y²=-4x相切的直线方程为y=2x+b，切点为P，则点P即为所求点，由此能求出结果．

解答 解：（Ⅰ）p为方程x²-4x-12=0的根，解得p=-2或6，
∴y²=-4x或y²=12x；
（Ⅱ）解法一、显然抛物线y²=-4x与直线y=2x-5无公共点，
设点P（-$\frac{{t}^{2}}{4}$，t）为抛物线y²=-4x上的任意一点，
点P到直线y=2x-5的距离为d，
则d=$\frac{|2×（-\frac{{t}^{2}}{4}）-t-5|}{\sqrt{5}}$=$\frac{{t}^{2}+2t+10}{2\sqrt{5}}$
当t=-1时，d取得最小值，
此时P（-$\frac{1}{4}$，-1）为所求的点 
解法二、显然抛物线y²=-4x与直线y=2x-5无公共点，
设与直线y=2x-5平行且与抛物线y²=-4x相切的直线方程为y=2x+b，
切点为P，则点P即为所求点
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+b}\\{{y}^{2}=-4x}\end{array}\right.$，
消去y并化简得：4x²+4（b+1）x+b²=0，
∵直线与抛物线相切，
∴△=16（b+1）²-16b²=0，
解得：b=-$\frac{1}{2}$
把b=-$\frac{1}{2}$代入方程4x²+4（b+1）x+b²=0并解得：x=-$\frac{1}{4}$，∴y=-1
故所求点为P（-$\frac{1}{4}$，-1）．

点评 本题主要考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．