Question

3．求函数f（x）=x⁵+5x⁴+5x³+1在区间[-1，4]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析 讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值根据极值与最值的求解方法，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．

解答 解：f′（x）=5x⁴+20x³+15x²=5x²（x+3）（x+1），
当f′（x）=0得x=0，或x=-1，或x=-3，
∵0∈[-1，4]，-1∈[-1，4]，-3∉[-1，4]
列表：

x	-1	（-1，0）	0	（0，4）
f′（x）	0	+	0	+
f（x）	0	增	1	增

又f（0）=0，f（-1）=0；右端点处f（4）=2625；
∴函数y=x⁵+5x⁴+5x³+1在区间[-1，4]上的最大值为2625，最小值为0．

点评 本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求最值是高考中常见问题，属于基础题．