Question

10．在市委市政府扶贫的推动下，安顺某乡镇企业的年产值逐年增长，如表统计了2011～2015年五年的年产值，其中x依次为年份代号（2011年用1代替，其他年份代号顺推），y为年产值（万元）． 

x	1	2	3	4	5
y	220	250	285	340	405

参考公式：
回归直线的方程是：$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$．
其中$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n\stackrel{-2}{x}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$
（Ⅰ）利用最小二乘法计算年产值y（万元）关于年份代号x的线性回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$；
（Ⅱ）预测2017年该企业的年产值．

Answer 1

分析 （1）首先求得$\overline{x}，\overline{y}$ 的值，然后结合$\widehat{b}，\hat{a}$ 的值即可求得回归方程；
（2）利用回归方程的预测作用，令x=7即可求得最终结果．

解答 解：（1）由题意可得：$\overline{x}=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3$，$\overline{y}=\frac{220+250+285+340+405}{5}=300$，
则：$\widehat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}{（{x}_{i}-\overline{x}）}^{2}}=46$，$\widehat{a}=\overline{y}-\widehat{b}\overline{x}=300-46×3=162$，
则回归方程为：$\widehat{y}=\widehat{b}x+\hat{a}=46x+162$．
（2）当x=7时，预测2017年该企业的年产值为：$\hat{y}=46×7+162=484$万元．

点评 本题考查回归方程的求解，回归方程的预测作用及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．