Question

5．已知：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且$\frac{cosA-2cosC}{cosB}$=$\frac{2c-a}{b}$
（1）求$\frac{sinC}{sinA}$的值
（2）若cosB=$\frac{1}{4}$，b=2，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理和两角和的正弦公式以及诱导公式即可求出，
（2）由（1）可得c=2a，再由余弦定理可得a，c的值，根据三角形的面积公式计算即可

解答 解：（1）∵$\frac{cosA-2cosC}{cosB}$=$\frac{2c-a}{b}$=$\frac{2sinC-sinA}{sinB}$，
∴cosAsinB-2sinBcosC=2cosBsinC-sinAcosB，
∴sinAcosB+cosAsinB=2sinBcosC+2cosBsinC，
∴sin（A+B）=2sin（B+C），
∴sinC=2sinA，
∴$\frac{sinC}{sinA}$=2；
（2）由（1）可得c=2a，
由余弦定理可得b²=a²+c²-2accosB，
∴4=a²+4a²-a²，
解得a=1，则c=2，
∵cosB=$\frac{1}{4}$，
∴sinB=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∴S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$×1×2×$\frac{\sqrt{15}}{4}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．

点评 本题考查正余弦定理解三角形三角形的面积公式，涉及和角的三角函数，属中档题．