Question

20．如图所示，在南海上有两座灯塔A、B，这两座灯塔之间的距离为60千米，有个货船从岛P处出发前往距离120千米岛Q处，行驶致一半路程时刚好到达M处，恰巧M处在灯塔A的正南方，也正好在灯塔B的正西方，向量$\overrightarrow{PQ}$⊥$\overrightarrow{BA}$，则$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BP}$=-3600．

Answer 1

分析 用端点含M的向量表示$\overrightarrow{AQ}，\overrightarrow{BP}$，根据向量的几何运算化简即可得出答案．

解答 解：由题意可知，$\overrightarrow{AM}$⊥$\overrightarrow{BM}$，$\overrightarrow{PQ}$⊥$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{MP}=-\overrightarrow{MQ}$，MP=$\frac{1}{2}$PQ=60．
∴$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BP}$=$（{\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MQ}}）（{\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MP}}）$=$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}$
=$0+\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{BM}•（{-\overrightarrow{MP}}）+\overrightarrow{MP}•（{-\overrightarrow{MP}}）$
=$\overrightarrow{MP}（{\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{BM}}）-{\overrightarrow{MP}^2}$
=$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{AB}-{\overrightarrow{MP}^2}$
=-$\overrightarrow{MP}$²
=-3600．
故答案为：-3600．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．