Question

已知数列{a_n}中，a₁=5，a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2）
（1）求a₂、a₃的值；
（2）是否存在实数λ，使得数列{

an+λ

2n

}为等差数列？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由；
（3）求通项公式a_n．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用递推关系式直接求出结果．
（2）先假设存在实数λ，进一步分析求实数λ，从而确定结论．
（3）利用上步得结论，构造新的等差数列，求出通项，另外要对首相进行讨论看是否符合通项公式．

解答： 解：（1）数列{a_n}中，a₁=5，a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2）
根据递推关系式求出：
a2=2a1+22-1=13
a3=2a2+23-1=33
（2）假设存在实数λ，使得数列{

an+λ

2n

}为等差数列，
则：

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

必为与n无关的常数，

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

=1-

1+λ

2n

则：1+λ=0
解得：λ=-1
（3）由（2）的结论：

an-1

2n

-

an-1-1

2n-1

=1（n≥2）
数列{

an-1

2n

}是以

a1-1

21

为首项，公差为1的等差数列．

an-1

2n

=

a1-1

21

+(n-1)×1
解得：an=(n+1)2n+1
当n=1时，a₁=5
数列{a_n}的通项公式为：an=(n+1)2n+1

点评：本题考查的知识要点：根据递推关系式求数列的各项，存在性问题的确定求参数的值，构造等差数列求通项公式．