Question

18．△ABC中，∠B=60°，b=2$\sqrt{3}$，则△ABC周长的最大值为（　　）

• A． 2
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 3$\sqrt{3}$
• D． 6$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由已知可得A+C=120°，结合正弦定理可表示a，c，利用三角函数恒等变换的应用可得△ABC周长l=2$\sqrt{3}$+4$\sqrt{3}$sin（A+30°），结合A的范围，利用正弦函数的性质可求△ABC周长的最大值．

解答 解：△ABC中，∵B=60°，b=2$\sqrt{3}$，
∴A+C=120°
由正弦定理可得a=$\frac{bsinA}{sinB}$=$\frac{2\sqrt{3}sinA}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4sinA，c=$\frac{bsinC}{sinB}$=$\frac{2\sqrt{3}sinC}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4sinC，
则△ABC周长l=a+b+c=4sinA+4sinC+2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$+4sinA+4sin（120°-A）
=2$\sqrt{3}$+4（$\frac{3}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA）
=2$\sqrt{3}$+4$\sqrt{3}$sin（A+30°），
∵0＜A＜120°，
∴30°＜A+30°＜150°，
∴$\frac{1}{2}$＜sin（A+30°）≤1，可得：2$\sqrt{3}$+4$\sqrt{3}$sin（A+30°）∈（4$\sqrt{3}$，6$\sqrt{3}$]，
∴l的最大值为6$\sqrt{3}$．
故选：D．

点评 本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，而辅助角公式及正弦函数的性质的灵活应用是求解问题的关键，属于中档题．