Question

.已知双曲线G的中心在原点,它的渐近线与圆x2＋y2－10x＋20＝0相切.过点P(－4,0)作斜率为的直线,使得和G交于A,B两点,和y轴交于点C,并且点P在线段AB上,又满足|PA|·|PB|＝|PC|2.   
(1)求双曲线G的渐近线的方程；  
(2)求双曲线G的方程；
(3)椭圆S的中心在原点,它的短轴是G的实轴.如果S中垂直于的平行弦的中点的轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分AB,若P（x,y）（y>0）为椭圆上一点,求当的面积最大时点P的坐标.

Answer 1

解：(1)设双曲线G的渐近线的方程为y＝kx,
则由渐近线与圆x²＋y²－10x＋20＝0相切可得
所以k＝±,即双曲线G的渐近线的方程为y＝±x.  …………………    3分
(2)由(1)可设双曲线G的方程为x²－4y²＝m,
把直线的方程y＝ (x＋4)代入双曲线方程,
整理得3x2－8x－16－4m＝0,
则xA＋xB＝,xAxB＝－.(*)
∵|PA|·|PB|＝|PC|2,P、A、B、C共线且P在线段AB上,
∴(xP－xA)(xB－xP)＝(xP－xC)2,即(xB＋4)(－4－xA)＝16,
整理得4(xA＋xB)＋xAxB＋32＝0.将(*)代入上式得m＝28,
∴双曲线的方程为                …………………    7分
(3)由题可设椭圆S的方程为 (a>2),
设垂直于的平行弦的两端点分别为M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点为P(x0,y0),

易得切线m的方程为,解得切点坐标,
则P点的坐标为  ………………… 14分

略