Question

如图，在底面边长为2的正三棱锥V-ABC中，E是BC的中点，若△VAE的面积是

1

4

，则侧棱VA与底面所成角的大小为arcsin

3

12

．（结果用反三角函数值表示）

Answer 1

分析：由题意知VA与底面所成角是∠VAE，由△VAE的面积求出sin∠VAE，再用反三角函数值表示．

解答：解：在正三棱锥V-ABC中，E是BC的中点；
∴VA与底面所成角是∠VAE；
∵△VAE的面积是

1

4

，∴

1

4

=

1

2

VA•AE•sin∠VAE；
∵正三棱锥V-ABC的底面边长为2，∴AE=

3

，∴VAsin∠VAE=

3

6

；
即三棱锥的高为

3

6

，又顶点在底面上的投影是底面的中心，令为O，则AO=

2 3

3

∴VA=

(AO)2+(VO)2

=

( 3 6 )2+( 2 3 3 )2

=

17 12

∴sin∠VAE=

3 6

VA

=

3 6

17 12

=

1

17

=

17

17

，则所求的角为arcsin

17

17

；
故选Arcsin

17

17

．

点评：本题考查了正三棱锥的高的位置，线面角的定义及三角形的面积公式，此题是基础题．