Question

如图，在底面边长为

2

的正四棱柱A₁B₁C₁D₁中，
（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）若二面角C₁-BD-C的大小为60°，求异面直线BC₁与AC所成角的大小的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲证明直线与平面垂直，可以先证明直线与直线垂直，由BD⊥CC₁，BD⊥AC可得BD⊥平面ACC₁A₁．
（Ⅱ）先将二面角C₁-BD-C的大小为60°，转化为对应的平面角的大小，根据三垂线定理可知：∠C₁OC∠是二面角C₁-BD-C的平面角，即∠C₁OC=60°，接着就可以求解异面直线BC₁与AC所成角的大小．求异面直线所成的角，可用几何法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求．连接A₁B，由A₁C₁∥AC，可得∠A₁C₁B是BC₁与AC所成的角．

解答：证明：（Ⅰ）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，
∴CC₁⊥平面ADCD，
∴BD⊥CC₁
∵ABCD是正方形∴BD⊥AC
又∵AC，CC₁?平面ACC₁A₁，且AC∩CC₁=C，
∴BD⊥平面ACC₁A₁．
（Ⅱ）设BD与AC相交于O，连接C₁O．
∵CC₁⊥平面ADCD
∴BD⊥AC，∴BD⊥C₁O，
∴∠C₁OC∠是二面角C₁-BD-C的平面角，
∴∠C₁OC=60°．连接A₁B．
∵A₁C₁∥AC，
∴∠A₁C₁B是BC₁与AC所成的角．
∵BC=

2

，则
CO=1，CC₁=CO•tan60°=

3

．A₁B=BC₁=

5

．A₁C₁=2．
在△A₁BC₁中，由余弦定理得cosA₁C₁B=

5

5

点评：本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量、异面直线所成的角等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．