Question

已知实数x，y满足

x-4y≤-3 3x+5y≤25 x≥1

．
（1）求z=2x+y的最小值和最大值； 
（2）求z=

y+1

x+1

的取值范围；
（3）求z=x²+y²的最小值；        
（4）求z=|x+y+1|最小值．

Answer 1

分析：（1）作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部．再作出直线l：z=2x+y，并将l进行平移，可得当x=y=1时，z达到最小值3；当x=5且y=2时，z达到最大值12；
（2）目标函数z=

y+1

x+1

表示可行域内一点（x，y）与定点D（-1，-1）连线的斜率，结合图形加以观察，可得z的最小值为kCD=

1

2

，最大值为kAD=

27

10

，由此即可得到z=

y+1

x+1

的取值范围；
（3）根据两点间的距离公式，可得z=x²+y²表示可行域内一点（x，y）与原点距离的平方．结合图形加以观察，可得z=x²+y²的最小值为|BO|²=2；
（4）根据点到直线的距离公式，设d=

z

2

=

|x+y+1|

2

表示可行域内一点（x，y）到直线x+y+1=0的距离．观察图形可得当可行域内点与B重合时，d达到最小值，由此即可算出z=|x+y+1|最小值为3．

解答：解：∵实数x，y满足

x-4y≤-3 3x+5y≤25 x≥1

∴作出可行域，得到△ABC及其内部．其中A（1，

22

5

），B（1，1），C（5，2），如图所示
（1）作出直线l：z=2x+y，并将l进行平移，可得
当l经过点B时，z达到最小值；当l经过点C时，z达到最大值；
∴Z_min=2×1+1=3，Z_max=2×5+2=12
即z=2x+y的最小值和最大值分别为3，12．…（3分）
（2）∵z=

y+1

x+1

=

y-(-1)

x-(-1)

表示可行域内一点（x，y）与定点D（-1，-1）连线的斜率
∴由图可知k_CD≤z≤k_AD
∵kCD=

2+1

5+1

=

1

2

，kAD=

22 5 +1

1+1

=

27

10

∴z=

y+1

x+1

的取值范围是[

1

2

，

27

10

]．…（6分）
（3）∵z=x²+y²表示可行域内一点（x，y）与原点距离的平方
∴由图可知当点（x，y）与B重合时，到原点的距离最小，z=x²+y²同时取到最小值
∵|BO|=

(1-0)2+(1-0)2

=

2

∴z=x²+y²的最小值为|BO|²=2；．…（9分）
（4）∵z=|x+y+1|，
∴d=

z

2

=

|x+y+1|

2

表示可行域内一点（x，y）到直线x+y+1=0的距离
因此作出直线x+y+1=0，由图可知可行域内的点B到该直线的距离最小
∴点B到直线x+y+1=0的距离d₀=

|1+1+1|

2

=

3 2

2

，
可得可行域内的点到直线x+y+1=0的距离最小值为

3 2

2

因此，z_min=

2

d₀=3，即z=|x+y+1|最小值为3．…（12分）

点评：本题给出二元一次不等式组表示的平面区域，求几个目标函数的最值和取值范围．着重考查了平面内两点的距离公式、点到直线的距离公式和简单的线性规划等知识点，属于中档题．