Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，椭圆C的右焦点与抛物线y2=4

3

x的焦点重合，且椭圆C过点(

3

，-

1

2

)．
（I）求椭圆C的方程；
（II）过点(

6

5

，0)作直线l交椭圆C于M，N两点（直线l与x轴不重合），A为椭圆C的右顶点，试判断以MN为直径的圆是否恒过点A，并说明理由．

Answer 1

考点：圆与圆锥曲线的综合,椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用抛物线的方程、椭圆的方程及其性质即可得出；
（Ⅱ）把直线l的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系及数量积即可判断AM⊥AN是否成立．

解答： 解：（Ⅰ）由抛物线y2=4

3

x的方程可得焦点为(

3

，0)，即为椭圆C的右焦点．
设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），又点(

3

，-

1

2

)在椭圆C上．
∴

c= 3 ( 3 )2 a2 + (- 1 2 )2 b2 =1 a2=b2+c2

，解得

a=2 b=1 c= 3

，
∴椭圆的方程为

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∵直线l与x轴不重合，∴可设直线l的方程为my=x-

6

5

，
联立

my=x- 6 5 x2 4 +y2=1

，消去x得到关于y的方程（25m²+100）y²+60my-64=0，
∵点(

6

5

，0)在椭圆内部，∴△＞0．
∴y₁+y₂=-

60m

25m2+100

，y1y2=-

64

25m2+100

．
∴

AM

•

AN

=（x₁-2，y₁）•（x₂-2，y₂）=(my1+

6

5

-2，y1)•(my2+

6

5

-2，y2)
=（m²+1）y₁y₂-

4

5

m(y1+y2)+

16

25

=-

64(m2+1)

25m2+100

+

48m2

25m2+100

+

16

25

=-

16

25

+

16

25

=0．
∴

AM

⊥

AN

，即∠MAN=90°．
∴以MN为直径的圆恒过点A．

点评：熟练掌握圆锥曲线的定义和性质、直线与圆锥曲线的相交问题的解题模式、根与系数的关系、数量积与垂直的关系是解题的关键．