Question

18．某公司设计如图所示的环状绿化景观带，该景观带的内圈由两条平行线段（图中的AB，DC）和两个半圆构成，设AB=xm，且x≥80．
（1）若内圈周长为400m，则x取何值时，矩形ABCD的面积最大？
（2）若景观带的内圈所围成区域的面积为$\frac{22500}{π}$m²，则x取何值时，内圈周长最小？

Answer 1

分析 （1）设半圆的半径为r，可得x+πr=200，矩形ABCD的面积为S=2xr=$\frac{2}{π}$x•πr，运用基本不等式即可得到所求最小值及x的值；
（2）设半圆的半径为r，由题意可得2x=$\frac{22500}{πr}$-πr，即有内圈周长c=2x+2πr=$\frac{22500}{πr}$+πr，由x≥80，求得r的范围，设出f（r）=$\frac{22500}{πr}$+πr，求得导数，判断单调性，即可得到所求最小值及x的值．

解答 解：（1）设半圆的半径为r，
可得2x+2πr=400，即x+πr=200，
矩形ABCD的面积为S=2xr=$\frac{2}{π}$x•πr≤$\frac{2}{π}$•（$\frac{x+πr}{2}$）²=$\frac{20000}{π}$，
当且仅当x=πr=100m时，矩形的面积取得最大值$\frac{20000}{π}$m²；
（2）设半圆的半径为r，
由题意可得πr²+2xr=$\frac{22500}{π}$，可得2x=$\frac{22500}{πr}$-πr，
即有内圈周长c=2x+2πr=$\frac{22500}{πr}$+πr，
由x≥80，可得$\frac{22500}{πr}$-πr≥160，
解得0＜πr≤90，
可得f（r）=$\frac{22500}{πr}$+πr，f′（r）=π-$\frac{22500}{π{r}^{2}}$，
即有f（r）在（0，$\frac{90}{π}$]上递减，
即有πr=90，即x=80m时，周长c取得最小值340m．

点评 本题考查函数的应用题的解法，考查最值的求法，注意运用基本不等式和函数的单调性，正确理解题意和点到函数式是解题的关键．