Question

8．若y=1-sin²x-mcosx的最小值为-4，则m的值为±5．

Answer 1

分析 由f（x）=$（cosx-\frac{m}{2}）^{2}-\frac{{m}^{2}}{4}$，分三种情况讨论：当-1≤$\frac{m}{2}$≤1时，当m＞2时，当m＜-2时，求得其最小值，令其为-4，解出即可．

解答 解：f（x）=1-sin²x-mcosx=cos²x-mcosx
=$（cosx-\frac{m}{2}）^{2}-\frac{{m}^{2}}{4}$，又-1≤cosx≤1，
（1）当-1≤$\frac{m}{2}$≤1，即-2≤m≤2，则cosx=$\frac{m}{2}$时有最小值-$\frac{{m}^{2}}{4}$，
由-$\frac{{m}^{2}}{4}$=-4，解得m=±4（舍）；
（2）当m＞2时，即cosx=1时有最小值1-m，由1-m=-4，解得m=5；
（3）当m＜-2时，即csox=-1时有最小值1+m，由1+m=-4，解得a=-5．
综上，m=-5或m=5．

点评 本题考查二次函数在闭区间上的最值问题，考查分类讨论思想，属中档题．