Question

18．设f（x）=$\frac{-{2}^{x}+a}{{2}^{x+1}+b}$（a＞0，b＞0）．
（1）当a=b=1时，证明：f（x）不是奇函数；
（2）设f（x）是奇函数，求a与b的值；
（3）在（2）的条件下，求不等式f（x）＞0的解集．

Answer 1

分析 （1）①当a=b=1时，计算 f（1）与f（-1），如果不相等，可得f（x）不是奇函数．
（2）当f（x）是奇函数时，f（-x）=-f（x），化简整理得（2a-b）2^2x+（2ab-4）2^x+（2a-b），这是关于x的恒等式，由此求得a、b的值；
（3）求出f（x）的表达式，问题转化为解不等式$\frac{1}{{2}^{x}+1}$＞$\frac{1}{2}$，解出即可．

解答 解：（1）①当a=b=1时，f（x）=$\frac{{-2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+1}$，
∵f（1）=$\frac{-2+1}{4+1}$=-$\frac{1}{5}$，
f（-1）=$\frac{-\frac{1}{2}+1}{1+1}$=$\frac{1}{4}$，f（-1）≠-f（1），
∴f（x）不是奇函数．
（2）当f（x）是奇函数时，f（-x）=-f（x），
即 $\frac{{-2}^{-x}+a}{{2}^{-x+1}+b}$=-$\frac{{-2}^{x}+a}{{2}^{x+1}+b}$对任意实数x成立．
化简整理得（2a-b）2^2x+（2ab-4）2^x+（2a-b）=0，这是关于x的恒等式，
所以，$\left\{\begin{array}{l}{2a-b=0}\\{2ab-4=0}\end{array}\right.$，所以 $\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，或 $\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$；
（3）f（x）=$\frac{{-2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+2}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}+1}$，
令f（x）＞0，即$\frac{1}{{2}^{x}+1}$＞$\frac{1}{2}$，解得：x＜0．

点评 本题主要考查函数的奇偶性的判断和证明，属于中档题．