Question

15．（I）已知直线y=2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是（-4，2），（3，1），求点C的坐标．
（II）已知点A（1，1），B（2，2），点P在直线y=$\frac{1}{2}$x上，求|PA|²+|PB|²取得最小值时P点的坐标．

Answer 1

分析 （I）求出BC所在的直线方程为3x+y-10=0，由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{3x+y-10=0}\end{array}\right.$，得点C的坐标；
（II）设P（2t，t）），利用配方法，可得|PA|²+|PB|²取得最小值时P点的坐标．

解答 解：（I）点A关于直线y=2x对称的点为（4，-2），且点A关于y=2x对称的点在BC上，
于是BC所在的直线方程为3x+y-10=0，由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{3x+y-10=0}\end{array}\right.$，得点C的坐标为（2，4）．
（II）设P（2t，t）），则
|PA|²+|PB|²=（2t-1）²+（t-1）²+（2t-2）²+（t-2）²=10t²-14t+10，
当t=$\frac{7}{10}$时，|PA|²+|PB|²取得最小值，即P（$\frac{7}{5}$，$\frac{7}{10}$）．

点评 本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、直线方程，考查两点间距离公式的运用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．