Question

4．已知定点A（12，0），M为曲线$\left\{{\begin{array}{l}{x=6+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}}$上的动点．
（1）若点P满足条件$\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{AM}$，试求动点P的轨迹C的方程；
（2）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，若直线：ρcosθ+ρsinθ=a与曲线C相交于不同的E、F两点，O为坐标原点且$\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{OF}$=12，求∠EOF的余弦值和实数a的值．

Answer 1

分析 （1）利用$\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{AM}$，得到P的参数方程，即可得出动点P的轨迹C的方程；
（2）利用向量数量积公式求∠EOF的余弦值；求出圆心到直线的距离，即可求出实数a的值．

解答 解：（1）设P（x，y），则
∵$\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{AM}$，
∴（x-12，y）=2（-6+2cosθ，2sinθ），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=4sinθ}\end{array}\right.$，即x²+y²=16；
（2）直线：ρcosθ+ρsinθ=a可化为x+y-a=0，
∵$\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{OF}$=12，
∴4•4•cos∠EOF=12，
∴cos∠EOF=$\frac{3}{4}$，
∴cos$\frac{1}{2}$∠EOF=$\sqrt{\frac{1+cos∠EOF}{2}}$=$\frac{\sqrt{14}}{4}$，
∴圆心到直线的距离d=4cos$\frac{1}{2}$∠EOF=$\sqrt{14}$=$\frac{|-a|}{\sqrt{2}}$，
∴a=±2$\sqrt{7}$．

点评 本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查点到直线的距离公式，属于中档题．