Question

19．已知|$\overrightarrow{a}$|=5，|$\overrightarrow{b}$|=12，当且仅当m为何值时，向量$\overrightarrow{a}$+m$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-m$\overrightarrow{b}$互相垂直．

Answer 1

分析 首先由已知向量$\overrightarrow{a}$+m$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-m$\overrightarrow{b}$互相垂直得到（$\overrightarrow{a}$+m$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-m$\overrightarrow{b}$）=0，展开，得到模长关系式，求出m．

解答 解：若向量$\overrightarrow{a}$+m$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-m$\overrightarrow{b}$互相垂直，则有（$\overrightarrow{a}$+m$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-m$\overrightarrow{b}$）=0，
∴$\overrightarrow{a}$²-m²$\overrightarrow{b}$²=0．
∵|$\overrightarrow{a}$|=5，|$\overrightarrow{b}$|=12，
∴25-144m ²=0．
∴m=±$\frac{5}{12}$．
∴当且仅当m=±$\frac{5}{12}$时，向量$\overrightarrow{a}$+m$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-m$\overrightarrow{b}$互相垂直．

点评 本题考查了平面向量垂直，数量积为0的运用；属于基础题．