Question

如图，三棱柱侧棱与底面垂直，且所有棱长都为4，D为CC1中点．

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值．

 

Answer 1

（1）见解析；（2）．

【解析】

试题分析：取BC中点O，连AO，利用正三角形三线合一，及面面垂直的性质可得AO⊥平面BCB1C1，取B1C1中点为O1，以O为原点，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，

（1）求出AB1的方向向量利用向量垂直的充要条件及线面垂直的判定定理可得AB1⊥平面A1BD；

（2）分别求出平面A1AD的法向量和平面A1AD的一个法向量代入向量夹角公式，可得二面角A-A1D-B的余弦值大小．也可用传统几何方法解决．

试题解析：法一：（向量法）

（1）取中点，连结．取中点，

故：以为原点，以分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 2分

则： 3分

4分

，． 6分

平面． 7分

（2）设平面的法向量为．．

令得为平面的一个法向量． 10分

由（1）可知：为平面的法向量． 11分

． 13分

二面角是锐角 二面角的余弦值为为． 14分

法二：（传统几何法）

（1）取BC中点O，连结AO和，

2分

3分

在正方形中，分别为的中点，

由正方形性质知：， 4分

5分

又在正方形中，， 6分

平面． 7分

（2）设AB1与A1B交于点，在平面1BD中，作于，连结，

由（1）得．

为二面角的平面角． 10分

在中，由等面积法可求得， 12分

又 ， 13分

． 所以二面角的余弦值为． 14分

考点：1．二面角的平面角及求法；2．直线与平面垂直的判定．