【题目】在不超过2000的自然数中，任意选取601个数.则这601个数中一定存在两数，其差为3或4或7.
【答案】见解析
【解析】
把不超过2000的自然数分成200组，连续十个自然数为一组.每组为
，其中
，1，2，…，199.
因为
，所以由抽屉原则知，至少有一组数里至少要选取4个数.不妨设是1，2，…，10这一组里应选取4个数.
把1，2，…，10分成4个小组：
，
，
，
.
（1）当
、
、
这三个小组中，有一组至少选取2个数时，命题显然成立.
（2）与上述相反，当、、这三个小组中每一组至多选取一个数时，由上面分析知，每一小组只能选取一个数，那么，
中只能选取7.
（i）若中选取3或10，则有
或
.命题成立.
（ii）若中选取6，
a）若在中选取2或9时，有
或
.成立.
b）若在中选取5时，那么，在中选取1或4或8时，有
或
或
.
命题成立.
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【题目】设函数
是定义域为R的奇函数.
（1）求实数k的值；
（2）若
，试判断函数
的单调性，并求不等式
的解集；
（3）若
，设
，
在
上的最小值为-1，求实数m的值.
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【题目】已知直线
，阅读如图所示的程序框图，若输入的
的值为
，输出的
的值恰为直线
在轴上的截距，且
.
（1）求直线
与的交点坐标；
（2）若直线
过直线与的交点，且在
轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求的方程.
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【题目】如图，在四棱椎
中， 
是棱
上一点，且
，底面
是边长为2的正方形， 
为正三角形，且平面
平面
，平面
与棱
交于点
.
(1)求证：平面
平面
；
(2)求二面角
的余弦值.
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【题目】设关于x的方程x2﹣ax﹣1＝0和3x2﹣6x+3﹣2a＝0的实根分别为x1,x2和x3,x4.若x1＜x3＜x2＜x4，则实数a的取值范围为_____.
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【题目】已知距离为
的
、
两点在直线
的同侧，且、到直线的距离分别为
、
.问能否作出经过、两点且与直线相切的圆？若能，请写出作法，画图并求出圆的半径；若不能，说明理由.
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【题目】已知函数f(x)＝(x﹣1)|x﹣a|﹣x﹣2a(x∈R).
(1)若a＝﹣1,求方程f(x)＝1的解集;
(2)若
,试判断函数y＝f(x)在R上的零点个数.
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【题目】如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1，中，点M是棱BC的中点.
（2）求证：A1C∥平面AB1M；
（2）如果AB＝AC，求证AM⊥平面BCC1B1.
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