Question

5．2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率，为庆祝该节日，某校举办的数学嘉年华活动中，设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得5个学豆、10个学豆、20个学豆的奖励，游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏；也可以选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部学豆归零，游戏结束．设选手甲第一关、第二关、第三关的概率分别为$\frac{3}{4}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{2}$，选手选择继续闯关的概率均为$\frac{1}{2}$，且各关之间闯关成功与否互不影响
（I）求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率
（Ⅱ）设该学生所得学豆总数为X，求X的分布列与数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设甲“第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件A，“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件A₁，“前两关闯关成功第二关闯关失败”为事件A₂，A₁，A₂互斥，P（A）=P（A₁）+P（A₂），由此能求出第一关闯关成功且所得学豆为零的概率．
（Ⅱ）由题意X的可能取值为0，5，15，35，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）设甲“第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件A，
“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件A₁，
“前两关闯关成功第二关闯关失败”为事件A₂，
则A₁，A₂互斥，
P（A₁）=$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×（1-\frac{2}{3}）=\frac{1}{8}$，
P（A₂）=$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）$=$\frac{1}{16}$，
P（A）=P（A₁）+P（A₂）=$\frac{1}{8}+\frac{1}{16}$=$\frac{3}{16}$，
∴第一关闯关成功且所得学豆为零的概率为$\frac{3}{16}$．
（Ⅱ）由题意X的可能取值为0，5，15，35，
P（X=0）=（1-$\frac{3}{4}$）+P（A）=$\frac{7}{16}$，
P（X=5）=$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}$=$\frac{3}{8}$，
P（X=15）=$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{8}$，
P（X=35）=$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{16}$，
∴X的分布列为：

X	0	5	15	35
P	$\frac{7}{16}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{16}$

EX=$0×\frac{7}{16}+5×\frac{3}{8}+15×\frac{1}{8}+35×\frac{1}{16}$=$\frac{95}{16}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率计算公式的合理运用．