Question

20．某新建公司规定，招聘的职工须参加不小于80小时的某种技能培训才能上班．公司人事部门在招聘的职工中随机抽取200名参加这种技能培训的数据，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求抽取的200名职工中，参加这种技能培训服务时间不少于90小时的人数，并估计从招聘职工中任意选取一人，其参加这种技能培训时间不少于90小时的概率；
（Ⅱ）从招聘职工（人数很多）中任意选取3人，记X为这3名职工中参加这种技能培训时间不少于90小时的人数．试求X的分布列和数学期望E（X）和方差D（X）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依题意，参加这种技能培训时间在时间段[90，95）小时的职工人数为60，在时间段[95，100）小时的职工人数为20，由此能求出从招聘职工中任意选取一人，其参加这种技能培训时间不少于90小时的概率．
（Ⅱ）依题意，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列、数学期望与方差．

解答 解：（Ⅰ）依题意，参加这种技能培训时间在时间段[90，95）小时的职工人数为：200×0.06×5=60，
在时间段[95，100）小时的职工人数为200×0.02×5=20，
∴抽取的200位职工中，参加这种技能培训时间不少于90小时的职工人数为80，
∴从招聘职工中任意选取一人，其参加这种技能培训时间不少于90小时的概率估计为：
p=$\frac{60+20}{200}$=$\frac{2}{5}$．
（Ⅱ）依题意，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{3}{5}）^{3}$=$\frac{27}{125}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{2}{5}）（\frac{3}{5}）^{2}$=$\frac{54}{125}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{2}{5}）^{2}（\frac{3}{5}）$=$\frac{36}{125}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{2}{5}）^{3}=\frac{8}{125}$，
∴随机变量X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

∵X～B（3，$\frac{2}{5}$），EX=$3×\frac{2}{5}$=$\frac{6}{5}$，DX=3×$\frac{2}{5}×\frac{3}{5}$=$\frac{18}{25}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．