Question

某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系为图（1）；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系为图（2），（利润与投资单位均为万元）．现将9万元资金投入生产A，B两种商品，设投入A的资金为x万元，获得的总利润为y（万元）
（1）用x表示y，并指出函数y=f（x）的定义域；
（2）如何分配9万元投入资金，才能使企业获得最大利润？

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）由于A产品的利润与投资成正比，可设y₁=k₁•x，从图1可以得到当x=1时，y₁=0.25，从而可以得到k₁，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，可设y₂=k₂•

x

，当x=4时，y₂=2.5，从而可得到k₂即可用x表示y，并指出函数y=f（x）的定义域；
（2）换元，结合配方法，即可求得结论．．

解答： 解：（1）由图可求得A产品的利润与投资的关系式为y=

1

4

x
B产品的利润与投资的关系式为y=

5

4

x

，
∴y=f(x)=

1

4

x+

5

4

9-x

（0≤x≤9），函数的定义域为[0，9]…（6分）
（2）令

9-x

=t，则t∈[0，3]，x=9-t²∴f(x)=

1

4

(9-t2)+

5

4

t=-

1

4

t2+

5

4

t+

9

4

∴当t=

5

2

，即x=2.75 时，f(x)取得最大值，此时9-x=6.25
答：将这9万元资金投入2.75万元生产A产品，6.25万元生产B产品，可使企业获得最大利润．    …（16分）

点评：本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，单峰函数极值就是最值，属于中档题．