Question

已知三棱锥P-ABC中，PA=PB，CB⊥平面PAB，PM=MC，AN=3NB．
（1）求证明：MN⊥AB；
（2）当∠APB=90°，BC=2，AB=4时，求MN的长．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：证明直线与直线垂直可将其中一条直线放到平面内，平面的选择可借助题目中已知的一些垂直关系取寻找，有中点的问题可利用中位线性质解决

解答： （1）证明：如图：

取AB，AC的中点分别为D、E，
取BD、EC的中点分别为N、F，
连接PD、PE、DE、MF、NF，
由PA=PB知PD⊥AB，D、E为直线AB，AC的中点，DE∥BC，而BC⊥平面PAB，
∴DE⊥AB，而PD∩DE=D，
∴AB⊥平面PDE，而NF∥DE，MF∥PE 知平面PDE∥平面MNF，
∴AB⊥平面MNF，MN?平面MNF，
∴MN⊥AB．
（2）解：由（1）以及BC=2可得GM=1，

取BP中点为G，则MG∥BC，又BC⊥面ABP，
∴MG⊥面ABP，
∴MG⊥GN，
GN=

1

2

PD=

1

4

AB=1，
∴MN=

GM2+GN2

=

2

．

点评：本题主要考查了直线与直线的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．