Question

设函数f（x）=|x+3|-|x-1|．
（Ⅰ）解不等式f（x）≤1；
（Ⅱ）若存在x₀，使得f（x₀）≥log₂a成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）将f（x）=|x+3|-|x-1|化为分段函数，由此解不等式，即可得到；
（Ⅱ）存在x₀，使得f（x₀）≥log₂a成立，等价于f（x）_max≥log₂a，由（Ⅰ）可知，log₂a≤4，解出不等式即可．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=|x+3|-|x-1|
=

-x-3+x-1，x＜-3 x+3+x-1，-3≤x≤1 x+3-x+1，x＞1

即

-4，x＜-3 2x+2，-3≤x≤1 4，x＞1

由f（x）≤1则x＜-3或

-3≤x≤1 2x+2≤1

，
解得x＜-3或-3≤x≤-

1

2

，
故不等式的解集为（-∞，-

1

2

]．
（Ⅱ）存在x₀，使得f（x₀）≥log₂a成立，等价于f（x）_max≥log₂a，
由（Ⅰ）可知，log₂a≤4，解得0＜a≤16．
故a的取值范围是（0，16]．

点评：本题考查绝对值函数及运用，考查函数的最值，及存在性问题转化为求函数的最值问题，考查运算能力，属于中档题．