Question

三角比内容丰富，公式很多．若仔细观察、大胆猜想、科学求证，你也能发现其中的一些奥秘．请你完成以下问题：
（1）计算：

cos2°

sin47°

+

cos88°

sin133°

=

 

；

cos5°

sin50°

+

cos85°

sin130°

=

 

；

cos12°

sin57°

+

cos78°

sin123°

=

 

．
（直接写答案，别忘记把计算器设置成“角度”！）
（2）根据（1）的计算结果，请你猜出一个一般性的结论：

 

．（用数学式子加以表达，并证明你的结论，写出推理过程．）

Answer 1

考点：归纳推理

专题：三角函数的求值,推理和证明

分析：（1）利用三角函数的诱导公式、三角函数的和角差角公式化简得：

cos2°

sin47°

+

cos88°

sin133°

=

cos2°

sin47°

+

sin2°

sin47°

=

2

；同理：

cos5°

sin50°

+

cos85°

sin130°

，

cos12°

sin57°

+

cos78°

sin123°

的值；
（2）根据（1）的计算结果，请你猜出一个一般性的结论：

cos(θ-45°)

sinθ

+

cos(135°-θ)

sin(180°-θ)

=

2

，利用三角函数的诱导公式、三角函数的和角差角公式证明即得．

解答： 解：（1）

cos2°

sin47°

+

cos88°

sin133°

=

cos2°

sin47°

+

sin2°

sin47°

=

sin47°

sin47°

=

2

，
同理可得：

cos5°

sin50°

+

cos85°

sin130°

=

2

，

cos12°

sin57°

+

cos78°

sin123°

=

2

，
故答案为：

2

；

2

；

2

．
（2）根据（1）的计算结果，请你猜出一个一般性的结论：

cos(θ-45°)

sinθ

+

cos(135°-θ)

sin(180°-θ)

=

2

，
证明如下：左边=

cos(θ-45°)

sinθ

+

sin(θ-45°)

sinθ

=

cos(θ-45°)+sin(θ-45°)

sinθ

=

2 sin(θ-45°+45°)

sinθ

=

2 sinθ

sinθ

=

2

，
故答案为：

cos(θ-45°)

sinθ

+

cos(135°-θ)

sin(180°-θ)

=

2

点评：本小题主要考查三角函数的诱导公式、三角函数的和角差角公式、类比推理等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．