Question

已知A（2，3），B（5，4），C（7，10），若点P满足

AP

=

AB

+λ

AC

，
（1）当λ为何值时，点P在直线y=x上；
（2）当λ范围是多少时，点P在第三象限．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：（1）设P（x，y），根据已知的几点坐标求出向量：

AP

，

AB

，

AC

的坐标，根据

AP

=

AB

+λ

AC

，即可用λ表示x，y：x=5+5λ，y=4+7λ，因为点P在y=x上，所以：5+5λ=4+7λ，这样即可解出λ；
（2）P在第三象限，则x＜0，y＜0，带入λ即可解出λ的范围．

解答： 解：（1）设点P（x，y），则：

AP

=(x-2，y-3)，

AB

=(3，1)，

AC

=(5，7)；
∵

AP

=

AB

+λ

AC

，∴（x-2，y-3）=（3，1）+λ（5，7）；
∴

x-2=3+5λ y-3=1+7λ

，∴x=5+5λ，y=4+7λ；
若点P在直线y=x，则：5+5λ=4+7λ，解得λ=

1

2

；
∴λ=

1

2

时，点P在直线y=x上；
（2）若点P在第三象限，则x＜0，y＜0；
∴

5+5λ＜0 4+7λ＜0

，解得λ＜-1；
∴λ＜-1时，点P在第三象限．

点评：考查向量的坐标运算，点P在直线上的充要条件，点P在第三象限的充要条件．