Question

已知定义域为R的函数f（x）=

-2x+b

2x+1+a

是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）判断f（x）的单调性；
（3）解关于t的不等式f（t²-2t）+f（2t²-1）＜0．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合,函数奇偶性的判断

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）直接根据函数是奇函数，满足f（-x）=-f（x），把x=0，和x=1代入，即可得到关于a，b的两个等式，解方程组求出a，b的值；
（2）由（1）知f（x）=-

1

2

+

1

2x+1

，所以f（x）在（-∞，+∞）上为减函数；
（3）利用单调性，再结合其为奇函数，即可把原不等式转化，从而得到结论．

解答： 解：（1）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，所以

-1+b

2+a

=0，解得b=1，
又由f（1）=-f（-1），

-2+1

4+a

=-

- 1 2 +a

1+a

，解得a=2．
所以a=2；b=1-------------------------（3分）
（2）由（1）知f（x）=-

1

2

+

1

2x+1

所以f（x）在（-∞，+∞）上为减函数---------------（9分）
（3）因f（x）是奇函数，从而不等式f（t²-2t）+f（2t²-1）＜0等价于
f（t²-2t）＜-f（2t²-1）=f（-2t²+1）．
因f（x）是减函数，由上式推得t²-2t＞-2t²+1，
即3t²-2t-1＞0解不等式可得t＞1或t＜-

1

3

，
故不等式的解集为：{ t|t＞1或t＜-

1

3

}．-------------------------------------（13分）

点评：本题主要考查了奇函数的性质，以及应用性质求参数的值，属于函数性质的应用．