Question

已知tan（

π

4

+x）=-

1

2

．
（Ⅰ）求tan2x的值；
（Ⅱ）若x是第二象限的角，化简三角式

1+sinx 1-sinx

+

1-sinx 1+sinx

，并求值．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）已知等式左边利用两角和与差的正切函数公式化简，整理求出tanx的值，再利用二倍角的正切函数公式化简tan2x，将tanx的值代入计算即可求出值；
（Ⅱ）原式被开方数变形后，利用二次根式的性质及绝对值的代数意义化简得到最简结果，由tanx的值求出cosx的值，代入计算即可求出值．

解答： 解：（Ⅰ）已知等式变形得：tan（

π

4

+x）=

1+tanx

1-tanx

=-

1

2

，
解得：tanx=-3，
则tan2x=

2tanx

1-tan2x

=

-6

-8

=

3

4

；
（Ⅱ）∵x是第二象限的角，∴cosx＜0，
∴原式=

(1+sinx)2 1-sin2x

+

(1-sinx)2 1-sin2x

=

1+sinx

|cosx|

+

1-sinx

|cosx|

=

1+sinx+1-sinx

-cosx

=-

2

cosx

，
∵tanx=-3，
∴cos²x=

1

1+tan2x

=

1

10

，
∵cosx＜0，
∴cosx=-

10

10

，
∴原式=-

2

cosx

=2

10

．

点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．