Question

对任意x、y，f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）且当x＞0时，f（x）＜0，又f（1）=-2．
（1）求证：f（x）是R上的减函数；
（2）若?x∈R，不等式f（ax²）-2f（x）＜f（x）+4恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）令x=y=0，得到f（0）=0，令y=-x，则f（x）为奇函数，令x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，则f（x₂-x₁）＜0，即有f（x₂）+f（-x₁）＜0，即可得证；
（2）由于f（1）=-2，得到f（-2）=4．原不等式即为f（ax²）＜3f（x）+f（-2），由条件即得f（ax²）＜f（3x-2），再由单调性，得到不等式恒成立，应用判别式小于0，即可得到a的取值范围．

解答： （1）证明：由于f（x+y）=f（x）+f（y），
令x=y=0，则f（0）=2f（0），f（0）=0，
令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）=0，则f（x）为奇函数，
令x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，则f（x₂-x₁）＜0，即有f（x₂）+f（-x₁）＜0，即f（x₂）-f（x₁）＜0，
故f（x）是R上的减函数；
（2）解：由于f（1）=-2，则f（-1）=2，f（-2）=4．
f（ax²）-2f（x）＜f（x）+4即为f（ax²）＜3f（x）+f（-2），
即有f（ax²）＜f（3x-2），
由于f（x）是R上的减函数，则ax²＞3x-2恒成立，
则a＞0，且9-8a＜0，故a＞

9

8

．
故a的取值范围是（

9

8

，+∞）．

点评：本题考查抽象函数及应用，考查函数的奇偶性和单调性及应用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，属于中档题．