Question

已知命题p：关于x的函数y=log

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（x²+ax+2a+5）的值域为R，命题q：关于a的不等式a²-2a+1-m²≥0（m＞0）的解集；
（1）当m=4时，若p∧q为真，求a的取值范围；
（2）若?p是?q的必要不充分条件，求实数m的取值集合．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断,复合函数的单调性

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：（1）由于命题p：关于x的函数y=log

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（x²+ax+2a+5）的值域为R，可得△≥0，解得a．当m=4时，命题q：关于a的不等式a²-2a+1-m²≥0化为a²-2a-15≥0，解得a．由于p∧q为真，求其交集即可得出．
（2）由于?p是?q的必要不充分条件，可得p是q的充分不必要条件，由（1）可得：若命题p是真命题：得到a≥10或a≤-2．因此集合{a|a≥10或a≤-2}是关于a的不等式a²-2a+1-m²≥0（m＞0）的解集的真子集；
解出即可．

解答： 解：（1）由于命题p：关于x的函数y=log

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（x²+ax+2a+5）的值域为R，
∴△≥0，解得a≥10或a≤-2．
当m=4时，命题q：关于a的不等式a²-2a+1-m²≥0化为a²-2a-15≥0，解得a≥5或a≤-3．
∵p∧q为真，∴a的取值范围为

a≥10或a≤-2 a≥5或a≤-3

，解得a≤-3或a≥10；
∴a的取值范围是a≤-3或a≥10．
（2）∵?p是?q的必要不充分条件，
∴p是q的充分不必要条件，
由（1）可得：若命题p是真命题：则a≥10或a≤-2．
因此集合{a|a≥10或a≤-2}是关于a的不等式a²-2a+1-m²≥0（m＞0）的解集的真子集；
由a²-2a+1-m²≥0（m＞0），化为（a-1+m）（a-1-m）≥0，
解得a≥1+m，或a≤1-m．
∴10≥1+m或-2≤1-m，且m＞0，
解得0＜m≤3．
故答案为：（0，3]．

点评：本题考查了一元二次不等式的解法、简易逻辑的有关知识、集合之间的关系、对数函数的性质，考查了推理能力和计算能力，属于难题．