Question

已知函数f（x）=ax²-2x（a∈R）
（1）当a=1时，求函数f（x）的零点．
（2）若

1

3

≤a≤1，且函数f（x）=ax²-2x在[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），令g（a）=M（a）-N（a）．求g（a）的表达式．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数解析式的求解及常用方法,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：（1）a=1时，f（x）=x²-2x，令f（x）=0，解出即可，
（2）分别讨论①

1

3

≤a＜

1

2

时，②

1

2

≤a≤1时的情况，从而求出g（a）的表达式．

解答： 解：（1）a=1时，f（x）=x²-2x，
令f（x）=0，解得：x=0或x=2；
（2）①

1

3

≤a＜

1

2

时，
M（a）=f（x）_max=f（3）=9a-6，
N（a）=f（x）_min=f（

1

a

）=-

1

a

，
∴g（a）=M（a）-N（a）=9a-6+

1

a

，
②

1

2

≤a≤1时，
M（a）=f（x）_max=f（1）=a-2，
N（a）=f（x）_min=f（

1

a

）=-

1

a

，
∴g（a）=M（a）-N（a）=a-2+

1

a

．

点评：本题考查了二次函数的性质，函数的零点问题，考查函数的解析式的求法，考查分类讨论思想，本题属于中档题．