Question

对于函数f（x）=a-

2

2x+1

（a∈R）
（1）判断函数f（x）的单调性并给出证明；
（2）若存在实数a使函数f（x）是奇函数，求a；
（3）对于（2）中的a，若f（x）≥

m

2x

，当x∈[2.3]恒成立，求m的最大值．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，由定义法能推导出f（x₁）-f（x₂）＜0，从而得到不论a为何实数，f（x）在定义域上单调递增．
（2）由f（-x）=-f（x），得a-

1

2-x+1

=a-

1

2x+1

，由此能示出a．
（3）由条件可得m≤2^x（1-

2

2x+1

）=（2^x+1）+

2

2x+1

-3恒成立，从而m≤（2^x+1）+

2

2x+1

-3的最小值，x∈[2，3]，由此能求出m的最大值．

解答： 解：（1）不论a为何实数，f（x）在定义域上单调递增．
证明：设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=(a-

1

2x1+1

)-(a-

1

2x2+1

)
=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
由x₁＜x₂，知0＜2x1＜2x2，
∴2x1-2x20，2x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴不论a为何实数，f（x）在定义域上单调递增．
（2）∵存在实数a使函数f（x）是奇函数，
∴由f（-x）=-f（x），得a-

1

2-x+1

=a-

1

2x+1

，
解得a=1．
（3）由条件可得m≤2^x（1-

2

2x+1

）=（2^x+1）+

2

2x+1

-3恒成立，
m≤（2^x+1）+

2

2x+1

-3恒成立，
m≤（2^x+1）+

2

2x+1

-3的最小值，x∈[2，3]，
设t=2^x+1，则t∈[5，9]，函数g（t）=t+

2

t

-3在[5，9]上单调递增，
∴g（t）的最小值是g（5）=

12

5

，m≤

12

5

，
∴m的最大值为

12

5

．

点评：本题考查函数f（x）的单调性的判断与证明，考查实数值的求法，考查使不等式恒成立的实数的最大值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．