Question

已知数列{a_n}满足a₁=-3，且2a_n+1a_n+a_n+1+4a_n+3=0（n∈N^*），记b_n=

1

an+1

（n∈N^*）．
（1）求证：数列{b_n+2}为等比数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（2）设数列{

1

2nanbn

}的前n项和S_n，求证：S_n＜

2

3

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由bn=

1

an+1

，得an=

1

bn

-1，从而an+1=

1

bn+1

-1．由此能证明数列{b_n+2}为等比数列，并能求出数列{b_n}的通项公式．
（2）由bn=

1

an+1

，得anbn=1-bn=3-

3

2n

，从而

1

2nanbn

=

1

3×2n-3

，进而

1

2nanbn

＜

1

3×2n-1

，由此能证明S_n＜

2

3

．

解答： （1）证明：由bn=

1

an+1

，得an=

1

bn

-1，
从而an+1=

1

bn+1

-1．
代入条件中有：2(

1

bn+1

-1)(

1

bn

-1)+

1

bn+1

-1+4(

1

bn

-1)+3=0
整理得：bn+1=

1

2

bn-1，变形得bn+1+2=

1

2

(bn+2)，
又b1+2=

1

a1+1

+2=

3

2

≠0，
故数列{b_n+2}为等比数列．…（6分）
则bn+2=

3

2

×(

1

2

)n-1=

3

2n

，
故数列{b_n}的通项公式为bn=

3

2n

-2．…（9分）
（2）证明：由bn=

1

an+1

，得anbn=1-bn=3-

3

2n

，
则

1

2nanbn

=

1

3×2n-3

而3×2ⁿ-3=3（2^n-1+2^n-1-1）≥3×2^n-1，则

1

2nanbn

＜

1

3×2n-1

．
从而Sn=

1

2a1b1

+

1

22a2b2

+

1

23a3b3

+…+

1

2nanbn

＜

1

3

(1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)
=

1 3 (1- 1 2n )

1- 1 2

=

2

3

(1-

1

2n

)＜

2

3

．
故S_n＜

2

3

．…（14分）

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意放缩法的合理运用．