Question

已知函数f（x）=

1

x

+a的图象经过点（1，2）．
（1）求a的值；
（2）证明函数在（0，+∞）上单调递减；
（3）若函数f（x）在[n，n+1]（n＞0）上的最大值为4，求n的值．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数单调性的判断与证明,函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）代值计算即可．
（2）利用导数判断即可，先求导，再判断单调性，
（3）根据单调性，知当x=n时，函数有最大值，代值计算即可

解答： 解：（1）f（x）=

1

x

+a的图象经过点（1，2）．
∴f（1）=1+a=2，
解得a=1，
（2）∵f′（x）=-

1

x2

＜0，
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；
（3）∵函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；
∴当x=n时，函数有最大值，
∴

1

n

+1=4，
解得n=

1

3

．

点评：本题主要考查了导数与函数的单调性及最值的问题，属于基础题．