Question

已知f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
（1）求k的值；
（2）证明：对任意实数b，函数y=f（x）的图象与直线y=

1

2

x+b最多只有一个交点．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由偶函数的定义进行求解；
（2）用假设法先假设有两个交点，再推出矛盾即可．

解答： 解：（1）因为f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数，
所以f（-x）=log4(4-x+1)-kx=f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）
解得：k=-

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2

．
（2）证明：由（1）得f(x)=log4(4x+1)-

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2

x，令log4(4x+1)-

1

2

x=

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2

x+b，得4^x+1=4^b•4^x，
假设方程有两个不等的实数根，则4x1+1=4b•4x1①，4x2+1=4b•4x2②．
两式相减得4x1-4x2=4b•(4x1-4x2)，
因为4x1≠4x2，所以4^b=1，b=0，代入①或②不成立，假设错误，命题成立．

点评：本题主要考查函数的奇偶性、图象的交点问题，属于中档题．