Question

已知函数f（x）=

1

1+x2

（I）判断f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）确定函数f（x）在（-∞，0）上是增函数还是减函数？证明你的结论．
（Ⅲ）若对任意x∈[1，2]都有f（x）≤

a

2

-1恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的性质,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数的奇偶性进行判断；
（2）根据增减函数的定义进行判断和证明；
（3）先求出函数的最大值，只要最大值满足就可以了．

解答： 解：（I）因为函数为f（x）=

1

1+x2

所以定义域为{x|∈R}---------1
f（-x）=

1

1+(-x)2

=

1

1+x2

=f（x），∴f（x）为偶函数．-----------------3
（Ⅱ）在区间（-∞，0）上取x₁，x₂且x₁＜x₂，
f(x1)-f(x2)=

1

1+x12

-

1

1+x22

=

(x2-x1)(x2+x1)

(x12+1)(x22+1)

-------------------------4
----------------------6
因为x12+1＞0，x12+1＞0，且x₁＜x₂，∴x₂+x₁＜0，x₂-x₁＞0-----------8
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，所以f（x）在（-∞，0）上为增函数．--------------------10
（Ⅲ）f(x)max=f(1)≤

a

2

-1即可，---------------------12
易得a≥3--------------14

点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性以及恒成立问题，属于中档题．