Question

已知函数f（x）=-x²+2ax-1，若f（x）在[-1，1]上的最大值为g（a），求g（a）的解析式．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：先对解析式配方，确定函数的对称轴，由于只求最大值，根据对称轴与区间的位置关系分三种情形讨论，最后用分段函数形式表示出函数的最大值．

解答： 解：由题意得，f（x）=-（x-a）²+a²-1，
①当a≤-1时，f（x）在[-1，1]上单调减，
∴f（x）_max=f（-1）=-2a-2，
②当-1＜a＜1时，f（x）在[-1，a]上单调增，在（a，1]上单调，
∴f(x)max=f(a)=a2-1，
③当a≥1时，f（x）在[-1，1]上单调增，
∴f（x）_max=f（1）=2a-2，
综上得，g(a)=

-2a-2 ，a≤-1 a2-1 ，-1＜a＜1 2a-2 ，a≥1

．

点评：本题考查了二次函数的图象和性质，特别是求二次函数的最值，需要分类讨论，做到不重不漏，解题时要学会用数形结合的思想方法解决问题．