Question

如图，三棱柱ABC-A′B′C′中，点A′在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC′=2．
（1）证明：AC′⊥A′B；
（2）设直线AA₁与平面BCC₁B₁的距离为

3

，求二面角A′-AB-C的正切值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得平面AA′C′C⊥平面ABC．BC⊥平面AA′C′C，由此能证明AC′⊥A′B．
（2）由已知得平面AA′C′C⊥平面BCC′B′．作AE′⊥CC′，E为垂足，则A′E⊥平面BCC′B′．推导出A′E为直线AA′与平面BCC′B′的距离，由此能求出二面角A′-AB-C的正切值．

解答： （本小题12分）
（1）证明：因为A′D⊥平面ABC，A′D?平面AA′C′C，
故平面AA′C′C⊥平面ABC．
又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA′C′C，
连接A′C，因为侧面AA′C′C为菱形，所以AC′⊥A′C，
故AC′⊥A′B．（4分）
（2）解：∵BC⊥平面AA′C′C，BC?平面BCC′B′，
∴平面AA′C′C⊥平面BCC′B′．
作AE′⊥CC′，E为垂足，则A′E⊥平面BCC′B′．
又直线AA′∥平面BCC′B′，
因而A′E为直线AA′与平面BCC′B′的距离，A′E=

3

．
因为A′C为∠ACC′的平分线，故A′D=A′E=

3

．
作DF⊥AB，F为垂足，连接A′F．由三垂线定理得A′F⊥AB，
∴∠A′FD为二面角A′-AB-C的平面角，
由AD=

AA′2-A′D2

=1，得D为AC中点，
DF=

1

2

×

AC×BC

AB

=

5

5

，tan∠A′FD=

A′B

DF

=

15

，
∴二面角A′-AB-C的正切值为

15

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．