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    7．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cosθ}\\{y=2\sqrt{3}+2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为（2$\sqrt{3}$，$\frac{2π}{3}$）．
    （Ⅰ）求直线l以及曲线C的极坐标方程；
    （Ⅱ）设直线l与曲线C交于A，B两点，求△PAB的面积．

    分析 （Ⅰ）直线l的参数方程消去参数t，得到直线l的普通方程为y=$\sqrt{3}x$，由此能求出直线l的极坐标方程；曲线C的参数方程消去参数θ，得曲线C的普通方程，由此能求出曲线C的极坐标方程．
    （Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}-2ρcosθ-4\sqrt{3}ρsinθ+9=0}\\{θ=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，得到ρ2-7ρ+9=0，由韦达定理、弦长公式求出|AB|，△PAB的面积S△PAB=|S△POB-S△POA|，由此能求出结果．

    解答 解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），
    消去参数t，得到直线l的普通方程为y=$\sqrt{3}x$，
    ∴$ρsinθ=\sqrt{3}ρcosθ$，∴$θ=\frac{π}{3}$，
    ∴直线l的极坐标方程为$θ=\frac{π}{3}$（ρ∈R），
    ∵曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cosθ}\\{y=2\sqrt{3}+2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
    ∴曲线C的普通方程为：（x-1）2+（y-2$\sqrt{3}$）2=4，
    则（ρcosθ-1）2+（$ρsinθ-2\sqrt{3}$）2=4，
    则曲线C的极坐标方程为${ρ}^{2}-2ρcosθ-4\sqrt{3}ρsinθ+9=0$．
    （Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}-2ρcosθ-4\sqrt{3}ρsinθ+9=0}\\{θ=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，
    得到ρ2-7ρ+9=0，设其两根为ρ1，ρ2，
    则ρ1+ρ2=7，ρ1ρ2=9，
    ∴|AB|=|ρ2-ρ1|=$\sqrt{（{ρ}_{1}+{ρ}_{2}）^{2}-4{ρ}_{1}{ρ}_{2}}$=$\sqrt{13}$，
    ∵点P的极坐标为（$2\sqrt{3}，\frac{2π}{3}$），∴|OP|=2$\sqrt{3}$，$∠POB=\frac{π}{3}$，
    ∴△PAB的面积：S△PAB=|S△POB-S△POA|=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×|AB|$=$\frac{3\sqrt{13}}{2}$．

    点评 本题考查直线与曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的求法，考查参数方程、直角坐标方程的互化、三角函数性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

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