Question

12．平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}t\\ y=\frac{\sqrt{2}}{2}t\end{array}$（t∈R）．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₁的极坐标方程为ρ²cos 2θ+4ρ²sin²θ=3．
（1）求出直线l的普通方程及曲线C₁的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C₁交于A，B两点，点C是曲线C₁上与A，B不重合的一点，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）直线l的参数方程消去参数t，参数直线l的普通方程；曲线C₁的极坐标方程转化为ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=3，由$\left\{\begin{array}{l}{ρcosθ=x}\\{ρsinθ=y}\end{array}\right.$，能求出曲线C₁的直角坐标方程．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得出A（0，1），B（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$），从而求出|AB|=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，设C（$\sqrt{3}$cosα，sinα），求出点C到直线l的距离d=$\frac{|2cos（α+\frac{π}{6}）+1|}{\sqrt{2}}$≤$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，由此能求出△ABC面积的最大值．

解答 解：（1）∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}t\\ y=\frac{\sqrt{2}}{2}t\end{array}$（t∈R）．
∴消去参数t，得到直线l的普通方程为：x-y+1=0．
∵曲线C₁的极坐标方程为ρ²cos 2θ+4ρ²sin²θ=3，
∴ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=3，
把$\left\{\begin{array}{l}{ρcosθ=x}\\{ρsinθ=y}\end{array}\right.$，代入上式，得曲线C₁的直角坐标方程为x²+3y²=3，即$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{2}}\\{y=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
设A（0，1），B（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
∴|AB|=$\sqrt{（0+\frac{3}{2}）^{2}+（1+\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∵点C是曲线C₁上一点，设C（$\sqrt{3}$cosα，sinα），
则点C到直线l的距离d=$\frac{|\sqrt{3}cosα-sinα+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2cos（α+\frac{π}{6}）+1|}{\sqrt{2}}$≤$\frac{3}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
当cos（α+$\frac{π}{6}$）=1时取等号，
∴△ABC的面积$S=\frac{1}{2}×d×|AB|$≤$\frac{1}{2}×\frac{3\sqrt{2}}{2}×\frac{3\sqrt{2}}{2}$=$\frac{9}{4}$，
∴△ABC面积的最大值为$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查直线的普通方程、曲线的直角坐标方程的求法，考查三角形的面积的最大值求法，考查参数方程、直角坐标方程的互化、三角函数性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．