Question

4．已知函数f（x）=|2x+1|-|x-2|，不等式f（x）≤2的解集为M．
（1）求M；
（2）记集合M的最大元素为m，若正数a，b，c满足a²+3b²+2c²=m，求ab+2bc的最大值．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，去掉绝对值，求出不等式f（x）≤2的解集为M．
（ 2）由（1）知m=1，可得a²+3b²+2c²=1，利用基本不等式求ab+2bc的最大值．

解答 解：（1）不等式f（x）≤2，即|2x+1|-|x-2|≤2，即$\left\{\begin{array}{l}{x≤-\frac{1}{2}}\\{-x-3≤2}\end{array}\right.$①；或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}＜x＜2}\\{3x-1≤2}\end{array}\right.$②；或$\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{x+3≤2}\end{array}\right.$③．
解求得-5≤x≤-$\frac{1}{2}$；解求得-$\frac{1}{2}$＜x≤1；解求得 x∈∅．
综合可得，不等式f（x）≤2的解集为M={x|-5≤x≤1}．
（2）由（1）可得M中的最大元素m=1，故有 a²+3b²+2c²=m=1，
∴ab+2bc≤$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{2}$+b²+c²=$\frac{{a}^{2}+{3b}^{2}+{2c}^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$，当且仅当a=b时，等号成立，
故ab+2bc的最大值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查绝对值不等式，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．