Question

设A，B是椭圆3x²+y²=λ上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆交于C，D两点．
（Ⅰ）当λ=3时，过点P（0，1）且倾斜角为

π

3

的直线与椭圆相交于E、F两点，求|EF|的长；
（Ⅱ）确定λ的取值范围，并求直线CD的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）当λ=3时，求出EF的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，可求|EF|的长；
（Ⅱ）可设直线AB的方程为 y=k（x-1）+3，代入 椭圆3x²+y²=λ，可得x₁+x₂=

2k(k-3)

k2+3

，再由线段的中点公式求出k=-1，于是求得直线CD的方程．

解答： 解：（Ⅰ）当λ=3时，椭圆3x²+y²=3，即x2+

y2

3

=1，
直线EF的方程为：y=

3

x+1，…（2分）
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），则
y=

3

x+1代入椭圆方程可得3x²+

3

x-1=0
∴x₁+x₂=-

3

3

，x₁x₂=-

1

3

，
∴|EF|=

1+3

|x₁-x₂|=

2 15

3

；
（Ⅱ）依题意，显然直线AB的斜率存在，可设直线AB的方程y=k（x-1）+3，
代入椭圆3x²+y²=λ，整理得（k²+3 ）x²-2k（k-3）x+（k-3）²-λ=0     ①
设A（x₁，y₁ ），B（x₂，y₂ ），则 x₁，x₂ 是方程①的两个不同的根，
∴△=4k²（k-3）²-4（k²+3 ）[（k-3）²-λ]＞0②，且x₁+x₂=

2k(k-3)

k2+3

．
由N（1，3）是线段AB的中点，得x₁+x₂=2，∴k（k-3）=k²+3，∴k=-1．
代入②得λ＞12，即λ 的取值范围是（12，+∞），于是直线CD的方程为x-y+2=0．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，线段的中点公式的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．