Question

18．已知函数f（x）=x-1+$\frac{a}{{e}^{x}}$（a∈R）．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；
（2）求函数f（x）的极值；
（3）当a=1时，若直线l：y=kx-1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，依题意f′（1）=0，从而可求得a的值；
（2）f′（x）=1-$\frac{a}{{e}^{x}}$，分①a≤0时②a＞0讨论，可知f（x）在∈（-∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，从而可求其极值；
（3）令g（x）=f（x）-（kx-1）=（1-k）x+$\frac{1}{{e}^{x}}$，则直线l：y=kx-1与曲线y=f（x）没有公共点，等价于方程g（x）=0在R上没有实数解，分k＞1与k≤1讨论即可得答案．

解答 解：（1）由$f（x）=x-1+\frac{a}{e^x}（a∈R）$，得f′（x）=1-$\frac{a}{{e}^{x}}$，
∴f′（1）=1-$\frac{a}{e}$，
由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，得$1-\frac{a}{e}=0$，即a=e；
（2）由f′（x）=1-$\frac{a}{{e}^{x}}$，知
若a≤0，则f′（x）＞0，函数f（x）在实数集内为增函数，无极值；
若a＞0，由f′（x）=1-$\frac{a}{{e}^{x}}$=0，得x=lna，
当x∈（-∞，lna）时，f′（x）＜0，当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0．
∴f（x）在（-∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增；
（3）当a=1时，f（x）=x-1+$\frac{1}{{e}^{x}}$，令g（x）=f（x）-（kx-1）=（1-k）x+$\frac{1}{{e}^{x}}$，
则直线l：y=kx-1与曲线y=f（x）没有公共点，
等价于方程g（x）=0在R上没有实数解．
假设k＞1，此时g（0）=1＞0，g（$\frac{1}{k-1}$）=-1+$\frac{1}{{e}^{\frac{1}{k-1}}}$＜0，
又函数g（x）的图象连续不断，由零点存在定理可知g（x）=0在R上至少有一解，
与“方程g（x）=0在R上没有实数解”矛盾，故k≤1．
又k=1时，g（x）=$\frac{1}{{e}^{x}}$＞0，知方程g（x）=0在R上没有实数解．
∴k的最大值为1．

点评 本题考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数研究曲线上某点切线方程，突出分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，属于中档题．