Question

为保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为y=

1 3 x3-80x2+5040x，x∈[120，144) 1 2 x2-200x+80000，x∈[144，500]

，
（1）写出每吨的平均处理成本S与月处理量x（吨）之间的函数关系式；
（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？并求出该最小值．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用,分段函数的应用

专题：应用题,不等式的解法及应用

分析：（1）利用项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为y=

1 3 x3-80x2+5040x，x∈[120，144) 1 2 x2-200x+80000，x∈[144，500]

，即可得出结论；
（2）分段讨论，①当x∈[120，144）时，S=

1

3

x2-80x+5040，求出S的最小值；②当x∈[144，500]时，利用基本不等式求出S的最小值；比较得每月处理量为多少吨时，能使每吨的平均处理成本最低．

解答： 解：（1）由题意可知二氧化碳每吨的处理成本为S=

1 3 x2-80x +5040，x∈[120，144) 1 2 x-200+ 80000 x ，x∈[144，500]

（2）当x∈[120，144），S=

1

3

x2-80x+5040，
∴x=120时，S取得最小值240；
当x∈[144，500]，S=

1

2

x+

80000

x

-200≥2

1 2 x• 80000 x

-200=200
当且仅当

1

2

x=

80000

x

，即x=400时，S有最小值200；
综上，当每月的处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低为200元．

点评：本题考查了分段函数模型的应用题目，并且考查了求二次函数的最值，利用基本不等式求函数的最值等问题，是中档题．