Question

设数列的前n项的和为S_n（n∈N₊），则关于{a_n}有下列三个命题：
①若a_n+1=a_n，则{a_n}即是等差数列，又是等比数列；
②若S_n=an²+bn（a，b∈R）?{a_n}是等差数列；
③若S_n=1-（-1）ⁿ，则{a_n}是等比数列．
则正确的命题是

 

．

Answer 1

考点：等差关系的确定,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：对于①，直接据反例进行判断；对于②和③，利用数列中a_n与S_n的关系式求出数列的通项，由等差数列和等比数列的定义加以验证．

解答： 解：对于①、如：数列0、0、0、…，是等差数列但不是等比数列，则①不正确；
对于②、由S_n=an²+bn，（a，b∈R），当n=1时，a₁=S₁=a+b，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=an²+bn-[a（n-1）²+b（n-1）]=2an-a+b．
当n=1时a₁适合上式．
∴a_n=2an-a+b．满足a_n+1-a_n=2a为常数，则{a_n}是等差数列，
当{a_n}是等差数列时，S_n=na1+

n(n-1)

2

d=

d

2

n2+(a1-

d

2

)n，
即为S_n=an²+bn（a，b∈R）形式，成立，则②正确；
对于③、若S_n=1-（-1）ⁿ，当n=1时，a₁=S₁=2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=1-（-1）ⁿ-[1-（-1）^n-1]=（-1）ⁿ⁺¹+（-1）^n-1，
当n为奇数时，a_n=2．当n为偶数时，a_n=-2．
所以{a_n}是等比数列，则③正确；
故答案为：②③．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，差数列和等比数列的定义，以及数列中a_n与S_n的关系式应用，解答的关键在于对基础知识的理解与掌握．